حل کار در کلاس و فعالیت صفحه 22 ریاضی هشتم

عدد مرکب، یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که علاوه بر خودش و عدد ۱، شمارنده‌ی دیگری نیز داشته باشد. به عبارت دیگر، بتوان آن را به صورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ نوشت. - $ ۲۱ = ۳ \times ۷ $ **(مرکب است)** - $۳۱$ (فقط بر ۱ و ۳۱ بخش‌پذیر است، پس اول است) - $ ۳۵ = ۵ \times ۷ $ **(مرکب است)** - $۴۷$ (فقط بر ۱ و ۴۷ بخش‌پذیر است، پس اول است) - $ ۴۹ = ۷ \times ۷ $ **(مرکب است)** بنابراین، اعداد مرکب در این لیست عبارتند از: **۲۱، ۳۵ و ۴۹**.

عددهای طبیعی که همۀ مضرب‌هایشان مرکب هستند، خود **اعداد مرکب** می‌باشند. **چرا؟** - اگر یک عدد **اول** (مانند ۳) را در نظر بگیریم، اولین مضرب آن خود عدد ۳ است که اول می‌باشد، پس این شرط را برآورده نمی‌کند. - اما اگر یک عدد **مرکب** (مانند ۴) را در نظر بگیریم، تمام مضرب‌های آن ($۴, ۸, ۱۲, ۱۶, ...$) نیز مرکب هستند. زیرا خود عدد ۴ دارای شمارنده‌ای به جز ۱ و خودش است ($۴ = ۲ \times ۲$). بنابراین، هر مضربی از ۴ (مثلاً $۴k$) نیز آن شمارنده را خواهد داشت و در نتیجه مرکب خواهد بود. بنابراین، پاسخ **همۀ اعداد مرکب** است (مانند $۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ...$).

- **تعداد مضرب‌ها:** هر عدد طبیعی، **بی‌نهایت** مضرب دارد. زیرا می‌توان آن را در هر عدد طبیعی ($۱, ۲, ۳, ...$) ضرب کرد. پس عدد ۱۷ بی‌نهایت مضرب دارد ($۱۷, ۳۴, ۵۱, ...$). - **تعداد مضرب‌های اول:** از بین تمام مضرب‌های عدد ۱۷، **فقط یک مضرب** آن اول است و آن خود عدد **۱۷** می‌باشد ($۱۷ \times ۱ = ۱۷$). سایر مضرب‌های آن (مانند $۳۴, ۵۱, ...$) چون بر ۱۷ بخش‌پذیر هستند، علاوه بر ۱ و خودشان، شمارنده‌ی دیگری (یعنی ۱۷) نیز دارند و در نتیجه همگی مرکب هستند.

**خیر**، همۀ مضرب‌های یک عدد اول، مرکب نیستند. **چرا؟** زیرا اولین مضرب هر عدد اول $a$، خود عدد $a$ است ($a \times ۱ = a$). از آنجایی که $a$ یک عدد اول است، پس مرکب نیست. به عنوان مثال، برای عدد اول $۵$، مضرب‌ها عبارتند از $۵, ۱۰, ۱۵, ...$ که اولین مضرب یعنی $۵$ عددی اول است.

ب.م.م یا بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک دو عدد، بزرگ‌ترین عددی است که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر باشند. - $ (۱,۴) = ۱ $ - $ (۲,۹) = ۱ $ - $ (۲,۸) = ۲ $ - نمونه: $ (۱۵,۶) = ۳ $ - $ (۳,۵) = ۱ $ - $ (۱۵,۴) = ۱ $ - $ (۵,۱۲) = ۱ $ - $ (۱۸,۱۲) = ۶ $ - $ (۳,۳) = ۳ $ - $ (۷,۸) = ۱ $ - $ (۱۸,۲۵) = ۱ $ - $ (۲۴,۲۵) = ۱ $

- **مثال:** دو عدد اول متفاوت $۷$ و $۱۱$ را انتخاب می‌کنیم. شمارنده‌های ۷ عبارتند از $ \{۱, ۷\} $ و شمارنده‌های ۱۱ عبارتند از $ \{۱, ۱۱\} $. بزرگ‌ترین شمارنده مشترک آنها ۱ است. پس $ (۷,۱۱)=۱ $. - **آیا هر دو عدد اول نسبت به هم اول‌اند؟** **بله**. - **چرا؟** دو عدد را "نسبت به هم اول" یا "متباین" می‌گوییم اگر ب.م.م آنها برابر با ۱ باشد. هر عدد اول $p$ فقط دو شمارنده دارد: ۱ و $p$. بنابراین، تنها شمارنده مشترک بین دو عدد اول **متفاوت**، همیشه عدد **۱** خواهد بود. در نتیجه، ب.م.م آنها همیشه ۱ است و نسبت به هم اول هستند.

برای اینکه دو عدد نسبت به هم اول باشند، ب.م.م آنها باید ۱ باشد. یعنی نباید هیچ شمارنده اول مشترکی داشته باشند. - **عدد اول:** $۳$ - **عدد مرکب:** $۴$ ($۴ = ۲ \times ۲$) شمارنده‌های ۳ عبارتند از $ \{۱, ۳\} $. شمارنده‌های ۴ عبارتند از $ \{۱, ۲, ۴\} $. تنها شمارنده مشترک آنها ۱ است، پس $ (۳,۴)=۱ $. بنابراین، ۳ و ۴ نسبت به هم اول هستند. **مثال دیگر:** عدد اول $۵$ و عدد مرکب $۹$ ($۹ = ۳ \times ۳$) نیز نسبت به هم اول هستند.

دو عدد مرکب زمانی نسبت به هم اول هستند که هیچ شمارنده اول مشترکی نداشته باشند. - **عدد مرکب اول:** $۴$ (عوامل اول: $۲, ۲$) - **عدد مرکب دوم:** $۹$ (عوامل اول: $۳, ۳$) شمارنده‌های ۴ عبارتند از $ \{۱, ۲, ۴\} $ و شمارنده‌های ۹ عبارتند از $ \{۱, ۳, ۹\} $. تنها شمارنده مشترک آنها ۱ است، پس $ (۴,۹)=۱ $. بنابراین، ۴ و ۹ دو عدد مرکب هستند که نسبت به هم اول‌اند. **مثال دیگر:** اعداد مرکب $۸$ ($۲^۳$) و $۱۵$ ($۳ \times ۵$) نسبت به هم اول هستند.

**بله**، هر دو عدد طبیعی متوالی (پشت سر هم) همیشه نسبت به هم اول هستند. **چرا؟** زیرا هر شمارنده مشترک دو عدد، باید شمارنده تفاضل آن دو عدد نیز باشد. تفاضل دو عدد طبیعی متوالی (مانند $n$ و $n+1$) همیشه برابر با ۱ است ($ (n+۱)-n = ۱ $). تنها عدد طبیعی که شمارنده ۱ است، خود عدد ۱ می‌باشد. بنابراین، تنها شمارنده مشترک دو عدد متوالی، عدد ۱ است و در نتیجه ب.م.م آنها همیشه ۱ خواهد بود. **مثال:** $ (۸,۹) = ۱ $ و $ (۲۴,۲۵) = ۱ $.

اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، ک.م.م (کوچک‌ترین مضرب مشترک) آنها برابر با **حاصل‌ضرب آن دو عدد** است. **چرا؟** رابطه کلی بین ب.م.م و ک.م.م دو عدد $a$ و $b$ به صورت زیر است: $ (a,b) \times [a,b] = a \times b $ وقتی دو عدد نسبت به هم اول هستند، ب.م.م آنها ۱ است ($ (a,b)=۱ $). با جایگذاری در فرمول داریم: $ ۱ \times [a,b] = a \times b \implies [a,b] = a \times b $ **مثال:** اعداد ۴ و ۹ نسبت به هم اول هستند. ک.م.م آنها برابر است با $ ۴ \times ۹ = ۳۶ $.